摘要

什么是柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值

1. 什么是柯西不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

2. 柯西不等式证明

二维形式的证明

(a²+b²)(c²+d²)  (a,b,c,d∈R)

=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²

=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²

=(ac+bd)²+(ad-bc)²

≥(ac+bd)²,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]

证明:

[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)

≥a²+b²+c²+d²+2