摘要

勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程a² + b² = c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说,设直角三角形两直

1. 勾股定理定义及公式

勾股定理是一个基本几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程a² + b² = c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那a²+b²=c² 。

2. 勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边,且a²+b²=c²,则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²,则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²,则△ABC是钝角三角形。

3. 勾股定理的证明

据不完全统计,勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】赵爽“勾股圆方图”

第一种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,化简得。

第二种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的

角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式,化简得。

这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。

【证法2】课本的证明

做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即

a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab, 整理得a²+b²=c²

【证法3】1876年美国总统Garfield证明

以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,

它的面积等于1/2c².

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)².

∴ 1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².

∴ a²+b²=c².

【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】欧几里得证明

做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.

∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB的面积等于1/2a²,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,

∴ 矩形ADLM的面积 =a².同理可证,矩形MLEB的面积 =b².

∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ c²=a²+b² ,即 a²+b²=c².

【证法5】利用相似三角形性质证明

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中,

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC,

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

∴AD∶AC = AC ∶AB,即 AC²=AD·AB.

同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,

从而有 勾股定理的历史2_html_51f314b4.

∴ AC²+BC²=(AD+DB)·AB=AB²,即 a²+b²=c²

【证法6】邹元治证明

以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1/2ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2 .

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b)².

∴ (a+b)²=4×1/2ab+c².

∴ a²+b²=c².

【证法7】利用切割线定理证明

在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c.

如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得

AC²=AE·AD

=(AB+BE)(AB-BD)

=(c+a)(c-a)

=c²-a²

即 b²=c²-a,

∴ a²+b²=c².

【证法8】作直角三角形的内切圆证明

在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,

∴ AC+BC-AB=(AE+CE)(BD+CD)-(AF+BF)

= CE+CD = r + r = 2r,

【证法9】利用多列米定理证明

在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c(如图). 过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有

【证法10】辛卜松证明

设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的

面积为