摘要

正弦定理定义及公式在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。  即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径)  这一定理对于任意三角形ABC,都有  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R  R为三角形外接圆半径  a=bsinA/sinB  =csinA/sinC正弦定理证明显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦

1. 正弦定理定义及公式

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

  即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径)

  这一定理对于任意三角形ABC,都有

  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

  R为三角形外接圆半径

  a=bsinA/sinB

  =csinA/sinC

2. 正弦定理证明

显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c = 2R。

若∠C为锐角或钝角,过B作直径BD交⊙O于D,连接DA,显然BD=2R。

∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。

∴∠DAB是直角。

若∠C为锐角,则D与C落于AB的同侧,此时

∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

若∠C为钝角,则D与C落于AB的异侧,此时∠D=180°-∠C,亦可推出

在△DAB中,应用正弦函数定义,知

因此,对任意三角形的任一角及其对边,均有上述结论。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边,应用上述结果。可得故对任意三角形,定理得证。

3. 正弦定理和余弦定理

正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。